2015臺州大學生村官行測—數學運算之剩余問題

2015-07-20 11:16:12 來源:臺州中公教育 點擊量

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在大學生村官行測考試中整除的問題經常出現,而在整除的基礎上又衍生出不能整除的問題,即有余數的問題也不斷的出現,下面中公大學生村官考試網將介紹特殊的剩余問題,即余同問題、和同問題以及差同問題。

一、剩余定理的特殊情況

(1)余同(余數相同):除數的最小公倍數+余數

例題1:三位數的自然數P滿足:除以4余2,除以5余2,除以6余2,則符合條件的自然數P有多少個?

A.120 B.122 C.121 D.123

【答案】B。

【解析】一個數除以4、5、6均余2,余數相同,屬于余同,因此這個數滿足通項公式N=60n+2 ,(n=0,1,2,3……),當n=2時,N=122,選擇B項。

(2)和同(除數和余數的和相同):除數的最小公倍數+和(除數加余數的和)

例題2:三位數的自然數P滿足:除以5余3,除以6余2,除以7余1,則符合條件的自然數P有多少個?

A.3 B.2 C.4 D.5

【答案】D。

【解析】此題除數與余數的和相加均為8,則該自然數應滿足N=210n+8(n=0,1,2……),因此在0至999以內滿足題干條件的自然數有8,218,428,638,848五個數,因此選D。

(3)差同(除數減余數之差相同):除數的最小公倍數-差(除數減余數的和)

例題3:某校三年級同學,每5人一排多1人,每6人一排多2人,每7人一排3多人,問這個年級至少有多少人?

A.206 B.202 C.237 D.302

【答案】A。

【解析】

方法一:代入排除法(略)。

方法二:通過觀察發現除數與余數的差均為4,所以此數滿足:N=210n-4(n=1,2,3……),當n=1時,算得次數為206,因此選A。

二、剩余定理的一般情況

例題4:一個自然數P同時滿足除以3余1,除以4余3,除以7余4,求滿足這樣條件的三位數共有多少個?

A.10 B.11 C.12 D.13

【答案】B。

【解 析】先取其中兩個條件,除以3余1,除以4余3,即P=4n+3=3a+1,等式兩邊同時除以3,等式左邊的余數為n,等式右邊的余數為1,即n=1,代 入上式可知滿足上述兩個條件的最小的數為7,則同時滿足上述兩條件的數的通項公式為P=12n+7……①,再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組 合成新的條件。即滿足題干中三個條件的數P=12n+7=7b+4,等式兩邊同時除以未知數較小的系數7,則左邊余數為5n,等式右邊的余數是4,也可認 為余數是25,即5n=25,求解得n=5,代入到①式中,即同時滿足題干中三個條件的最小的自然數P=67,則滿足題干三個條件的數的通項公式為 P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11,即符合題意的數共有11-1+1=11個數。

例題5:一個自然數P同時滿足除以11余5,除以7余1,除以5余2,求滿足這樣條件的三位數共有多少個?

A.9 B.10 C.11 D.12

【答案】D。

【解析】通過觀察會發現前兩個條件屬于差同,所以滿足前兩個條件的數的通項公式P=77n-6(n=0,1,2,3……),即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13,即符合題意的數共有13-2+1=12個數,因此選D。

從上面的例題中我們可以總結出以下關系:

如果一個數Q除以m余數是a,除以n余數是a,除以t余數是a,那么這個數Q可以表示為:

Q=a+(m、n、t的最小公倍數) N,N為整數,a是相同的余數。

如果一個數Q除以m余數是a-m,除以n余數是a-n,除以t余數是a-t,那么這個數Q可以表示為:

Q=a+(m、n、t的最小公倍數) N,N為整數,a是除數同余數的加和。

如果一個數Q除以m余數是m-a,除以n余數是n-a,除以t余數是t-a,那么這個數Q可以表示為:

Q=(m、n、t的最小公倍數)-a N-a,N為整數,a為相同的除數和余數的差。

不管題目怎么變化,只要記住這3個關系,在考試中的剩余問題都是可以迎刃而解的。

 

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